Moving Genomsnittet Autokovariansprocessor

2 1 Flytta genomsnittliga modeller MA modeller. Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvärden. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. Xt är ett fördröjt värde av xt Till exempel , En lag 1-autoregressiv term är x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder Att vikten är identiskt, oberoende distribuerad, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket av denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är de teoretiska egenskaperna följande. Notera att den enda nonzero värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff icients of models med MA termer Det är inte något vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibility-begränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast en omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prick summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som orsakssammanställning av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Det här sista steget använder ett grundläggande faktum om geometrisk serie som kräver phi1 1 annars serierna avviker. Skötsel Kontrollera slumpmässighet. Utföringsförteckningar Box och Jenkins, sid 28-32 är en vanlig - använt verktyg för kontroll av slumpmässighet i en dataset Denna slumpmässighet bestäms genom att beräkna autokorrelationer för datavärden vid olika tidsfördröjningar. Om slumpmässigt skulle sådana autokorrelationer vara nära noll för alla tidsfördröjningsskillnader. Om det inte är slumpmässigt, är en eller flera av Autokorrelationen Ns kommer att vara signifikant icke-zero. In addition autocorrelation tomter används i modellen identifieringssteget för Box-Jenkins autoregressiva, rörliga genomsnittliga tidsserier models. Autocorrelation är bara ett mått på slumpmässighet. Notera att okorrelerade inte nödvändigtvis betyder slumpmässig Data som har betydande autokorrelation inte slumpmässigt. Men data som inte visar signifikant autokorrelation kan fortfarande uppvisa icke-slumpmässighet på andra sätt. Autokorrelation är bara ett mått på slumpmässighet. I samband med modellvalidering som är den primära typen av slumpmässighet som vi dikterar i Handboken, Kontroll av autokorrelation är vanligtvis ett tillräckligt slumpmässigt test eftersom resterna från en dålig monteringsmodell tenderar att visa icke-subtil slumpmässighet. Men vissa applikationer kräver en mer noggrann bestämning av slumpmässighet. I dessa fall är ett testbatteri, vilket kan innefatta kontroll av Autokorrelation, tillämpas eftersom data kan vara icke-slumpmässiga i många olika och ofta subtila sätt. Ett exempel på var en mer noggrann kontroll för slumpmässighet behövs skulle vara i testning av slumptalsgeneratorer. Provplottautokorrelationer bör vara nära noll för slumpmässighet. Så är inte fallet i detta exempel och således slumpmässigt antagandet misslyckas. Detta provautokorrelation Plot visar att tidsserierna inte är slumpmässiga, men har snarare en hög grad av autokorrelation mellan intilliggande och närliggande intilliggande observationer. Definitionen rh mot h. Autocorrelation plots bildas av. Autocorrelationskoefficienten för vevaxel. Där Ch är autokovariansfunktionen. och C 0 är variansfunktionen. Notera att R h är mellan -1 och 1. Notera att vissa källor kan använda följande formel för autokovariansfunktionen. Fastän denna definition har mindre bias har formuleringen 1 N några önskvärda statistiska egenskaper och Är den form som brukar användas i statistiklitteraturen Se sidorna 20 och 49-50 i Chatfield för detaljer. Horisontell axel Tidslagsvisning hh 1, 2, 3. Ovanstående linje gäller också innehåller flera horisontella referenslinjer Mellanlinjen är vid noll De övriga fyra linjerna är 95 och 99 konfidensband Observera att det finns två distinkta formler för att generera förtroendeband. Om autokorrelationsplanen används för att testa för slumpmässighet, det är ingen tid beroende av data rekommenderas följande formel. Där N är provstorleken, z är den kumulativa fördelningsfunktionen för normal normalfördelning och alfa är signifikansnivån. I detta fall har konfidensbanden en fast bredd som beror på provet Storlek Detta är den formel som användes för att generera förtroendeband i ovanstående plot. Utföringsplottor används också i modellidentifieringssteget för montering av ARIMA-modeller. I detta fall antas en rörlig genomsnittsmodell för data och följande förtroendeband Ska genereras. Där k är lagret, N är provstorleken, z är den kumulativa fördelningsfunktionen för normal normalfördelning och alfa är Signifikansnivån I detta fall ökar konfidensbandet när fördröjningen ökar. Autokorrelationsdiagrammet kan ge svar på följande frågor. Uppgifterna är slumpmässiga. En observation relaterad till en intilliggande observation. Det är en observation som är relaterad till en observation två gånger Borttagen etc. Is den observerade tidsserien white noise. Is observerade tidsserie sinusoidal. Is observerade tidsserier autoregressive. What är en lämplig modell för observerade tidsserier. Är modellen. valid och tillräcklig. Är formeln ss sqrt giltig. Importance Säkerställ giltighet av tekniska slutsatser. Randomness tillsammans med fast modell, fast variation och fast distribution är ett av de fyra antaganden som typiskt ligger till grund för alla mätprocesser. Slumpmässigt antagande är kritiskt viktigt av följande tre skäl. De flesta standard statistiska test är beroende av Slumpmässighet Giltigheten av test slutsatserna är direkt kopplad till giltigheten av slumpmässiga antagandet. Mycket vanligt - Använda statistiska formler beror på slumpmässigt antagande, den vanligaste formeln är formeln för att bestämma standardavvikelsen för provmedlet. där s är standardavvikelsen för data. Även om det är tungt använd, är resultaten från att använda denna formel inte värde utan slumpmässigt antagande håller. För univariata data är standardmodellen. Om uppgifterna inte är slumpmässiga är denna modell felaktig och ogiltig och uppskattningarna för parametrarna som konstanten blir oanständiga och ogiltiga. Kort sagt, om analytiker gör Inte kontrollera efter slumpmässighet, då är giltigheten för många av de statistiska slutsatserna misstänkt. Autocorrelation plot är ett utmärkt sätt att kontrollera efter sådan slumpmässighet. Introduktion till ARIMA nonseasonal models. ARIMA p, d, q prognostiserande ekvation ARIMA-modeller är i teorin Den vanligaste klassen av modeller för prognoser för en tidsserie som kan göras för att vara stationär genom differentiering om det behövs, kanske i samband med olinjär trans Formationer som till exempel loggning eller avflöde om nödvändigt En slumpmässig variabel som är en tidsserie är stillastående om dess statistiska egenskaper är konstanta över tid En stationär serie har ingen trend, dess variationer runt dess medelvärde har en konstant amplitud och det vinklar i en konsekvent Mode dvs dess korta slumpmässiga tidsmönster ser alltid ut i statistisk mening. Det sistnämnda tillståndet betyder att dess autokorrelationsförhållanden med sina egna tidigare avvikelser från medelvärdet förblir konstanta över tiden eller likvärdigt att dess effektspektrum förblir konstant över tiden A slumpmässig variabel i denna form kan ses som vanligt som en kombination av signal och brus, och signalen om en är uppenbar kan vara ett mönster av snabb eller långsam medelbackning eller sinusformig oscillation eller snabb växling i tecken, och det kan också Ha en säsongsbetonad komponent En ARIMA-modell kan ses som ett filter som försöker skilja signalen från bruset och signalen extrapoleras sedan till fu För att få prognoser. ARIMA-prognosen för en stationär tidsserie är en linjär dvs regressionstypsekvation där prediktorerna består av lags av den beroende variabeln och eller lags av prognosfel som är. Prediktvärdet av Y är en konstant och eller en vägd summa av en eller flera nya värden på Y och eller en vägd summa av en eller flera nya värden av felen. Om prediktorerna endast består av fördröjda värden på Y är det en ren självregressiv självregresserad modell, som bara är ett speciellt fall av en regressionsmodell och som kan utrustas med standard regressionsprogram. Till exempel är en första-orders auktoregressiv AR1-modell för Y en enkel regressionsmodell där den oberoende variabeln bara Y är försenad med en period LAG Y, 1 I Statgraphics eller YLAG1 i RegressIt Om en del av prediktorerna är felaktiga, är en ARIMA-modell inte en linjär regressionsmodell, eftersom det inte finns något sätt att ange sista periodens fel som en oberoende variabel måste felet Beräknas periodvis mellan när modellen är anpassad till data Tekniskt sett är problemet med att använda fördröjda fel som prediktorer att modellens förutsägelser inte är linjära funktioner för koefficienterna trots att de är linjära funktioner Av tidigare data Således måste koefficienter i ARIMA-modeller som innehåller fördröjda fel uppskattas genom icke-linjära optimeringsmetoder bergsklättring snarare än genom att bara lösa ett system av ekvationer. Akronymet ARIMA står för auto-regressiva integrerade rörliga medelvärden av den stationära serien I prognosen ekvationen kallas autoregressiva termer, lags av prognosfel kallas glidande medelvärden och en tidsserie som behöver differentieras för att göras stationär sägs vara en integrerad version av en stationär serie Slumpmässig och slumpmässig serie. Trendmodeller, autoregressiva modeller och exponentiella utjämningsmodeller är alla speciella fall av ARIMA-modeller. En nonseasonal ARIMA-modell klassificeras som en AR IMA p, d, q modell, where. p är antalet autoregressiva termer. d är antalet icke-säsongsskillnader som behövs för stationaritet, ochqq är antalet fördröjda prognosfel i prediksionsekvationen. Prognosekvationen är konstruerad som Följer Först, låt y beteckna den d: n skillnaden i Y vilket betyder. Notera att den andra skillnaden i Y d2 fallet inte är skillnaden från 2 perioder sedan. Det är snarare den första skillnaden-av-första skillnaden som Är den diskreta analogen av ett andra derivat, dvs den lokala accelerationen i serien snarare än den lokala trenden. Med avseende på y är den generella prognosekvationen här. De rörliga genomsnittsparametrarna s definieras så att deras tecken är negativa i ekvationen, Efter konventionen som introducerades av Box och Jenkins Några författare och programvara inklusive R-programmeringsspråket definierar dem så att de har plustecken i stället När faktiska siffror är anslutna till ekvationen finns det ingen tvetydighet, men det är viktigt att veta Vilken konvention din programvara använder när du läser utmatningen. Vanligtvis anges parametrarna av AR 1, AR 2 och MA 1, MA 2 etc. För att identifiera lämplig ARIMA-modell för Y börjar du genom att bestämma sorteringsordningen D behöver stationera serierna och ta bort säsongens bruttoegenskaper, kanske i kombination med en variationsstabiliserande transformation som loggning eller deflatering. Om du slutar vid denna punkt och förutsäger att den olika serien är konstant har du bara monterat en slumpmässig promenad eller slumpmässig trendmodell Men den stationära serien kan fortfarande ha autokorrelerade fel, vilket tyder på att ett antal AR-termer p 1 och eller några nummer MA-termer q 1 också behövs i prognosförhållandet. Processen att bestämma värdena på p, d , och q som är bäst för en given tidsserie kommer att diskuteras i senare avsnitt i anteckningarna vars länkar finns högst upp på denna sida, men en förhandsgranskning av några av de typer av nonseasonal ARIMA-modellerna t Hat som vanligen förekommer anges nedan. ARIMA 1,0,0 första ordningens autoregressiva modell om serien är stationär och autokorrelerad, kanske det kan förutsägas som ett flertal av sitt eget tidigare värde plus en konstant prognosekvationen i det här fallet Is. which Y regresseras i sig själv fördröjd med en period Detta är en ARIMA 1,0,0 konstant modell Om medelvärdet av Y är noll, skulle den konstanta termen inte inkluderas. Om lutningskoefficienten 1 är positiv och mindre än 1 i storlek måste den vara mindre än 1 i storleksordningen om Y är stationär, beskriver modellen medelåterkallande beteende där nästa period s-värde bör förutsägas vara 1 gånger så långt bort från medelvärdet som denna period s-värde om 1 är negativt, förutspår det medelåterkallande beteende med teckenväxling, dvs det förutspår också att Y kommer att ligga under den genomsnittliga nästa perioden om det ligger över medelvärdet i denna period. I en andraordningsautoregressiv modell ARIMA 2,0,0 finns det skulle vara en Y t-2 term till höger också, och så vidare De I väntan på tecknen och storlekarna på koefficienterna kan en ARIMA 2,0,0 modell beskriva ett system vars genomsnittliga reversering sker på ett sinusformigt oscillerande sätt, som en massans rörelse på en fjäder som utsätts för slumpmässiga chocker. 0,1,0 slumpmässig promenad Om serien Y inte är stationär är den enklaste möjliga modellen för en slumpmässig promenadmodell, vilken kan betraktas som ett begränsande fall av en AR 1-modell där den autoregressiva koefficienten är lika med 1, dvs en serie med oändligt långsam medelvärde. Förutsägningsekvationen för denna modell kan skrivas som. där den konstanta termen är den genomsnittliga period-till-period-förändringen, dvs den långsiktiga driften i Y Denna modell kan monteras som en icke-avlyssningsregression Modell där den första skillnaden i Y är den beroende variabelen Eftersom den endast innehåller en icke-sekundär skillnad och en konstant term, klassificeras den som en ARIMA 0,1,0-modell med konstant. Den slumpmässiga promenad-utan-driftmodellen skulle vara en ARIMA 0,1,0 modell utan Constant. ARIMA 1,1,0 differentierad första ordningens autoregressiv modell Om felet i en slumpmässig promenadmodell är autokorrelerad kanske problemet kan lösas genom att lägga en lag av den beroende variabeln till prediksionsekvationen - dvs genom att regressera den första Skillnaden av Y i sig själv fördröjd med en period. Detta skulle ge följande förutsägelsekvation. Det kan omordnas till. Detta är en första-orders autregressiv modell med en ordning av icke-säsongsskillnader och en konstant term, dvs en ARIMA 1,1, 0 modell. ARIMA 0,1,1 utan konstant enkel exponentiell utjämning En annan strategi för att korrigera autokorrelerade fel i en slumpmässig promenadmodell föreslås av den enkla exponentiella utjämningsmodellen. Kom ihåg att för vissa icke-stationära tidsserier, t ex sådana som uppvisar bullriga fluktuationer kring en långsamt - varierande medelvärde, den slumpmässiga promenadmodellen fungerar inte lika bra som ett glidande medelvärde av tidigare värden Med andra ord, snarare än att ta den senaste observationen som prognosen för nästa obse rvation är det bättre att använda ett medelvärde av de sista få observationerna för att filtrera bort bruset och mer exakt uppskatta det lokala medelvärdet. Den enkla exponentiella utjämningsmodellen använder ett exponentiellt vägt rörligt medelvärde av tidigare värden för att uppnå denna effekt. Förutsägningsekvationen för den enkla exponentiella utjämningsmodellen kan skrivas i ett antal matematiskt ekvivalenta former, varav en är den så kallade felkorrigeringsformen, där den föregående prognosen justeras i riktning mot det fel som det gjorde. Eftersom e t-1 Y t -1 - t-1 per definition kan detta skrivas om som en ARIMA 0,1,1-utan konstant prognosfördelning med 1 1 - Det betyder att du kan passa en enkel exponentiell utjämning genom att ange det som en ARIMA 0,1,1 modell utan konstant, och den uppskattade MA 1-koefficienten motsvarar 1-minus-alfa i SES-formuläret. Påminner om att medelåldern för data i de 1-framåtprognoserna i SES-modellen är 1 mening att de tenderar att l ag efter trender eller vändpunkter med cirka 1 period. Det följer att den genomsnittliga åldern för data i de 1-framåtprognoserna för en ARIMA 0,1,1-utan konstant modell är 1 1 - 1 Så, till exempel, Om 1 0 8 är genomsnittsåldern 5 När 1 närmar sig 1 blir ARIMA 0,1,1 utan konstant modell ett mycket långsiktigt rörligt medelvärde och när 1 närmar sig 0 blir det en slumpmässig promenad utan - driftmodell. Vad är det bästa sättet att korrigera för autokorrelation som lägger till AR-termer eller adderar MA-termer I de tidigare två modellerna som diskuterats ovan fixades problemet med autokorrelerade fel i en slumpmässig promenadmodell på två olika sätt genom att lägga till ett fördröjt värde av Den olika serien till ekvationen eller lägga till ett fördröjt värde av prognosfelet Vilket tillvägagångssätt är bäst En tumregel för denna situation, som kommer att diskuteras mer i detalj senare, är att positiv autokorrelation vanligtvis behandlas bäst genom att lägga till en AR-termen till modellen och negativ autokorrelation behandlas vanligtvis bäst genom tillsats av en M En term I affärs - och ekonomiska tidsserier uppstår negativ autokorrelation ofta som en artefakt av differentiering. I allmänhet minskar differentieringen positiv autokorrelation och kan till och med orsaka en växling från positiv till negativ autokorrelation. Således är ARIMA 0,1,1-modellen, i vilken skillnad Åtföljs av en MA-term, används oftare än en ARIMA 1,1,0-modell. ARIMA 0,1,1 med konstant enkel exponentiell utjämning med tillväxt Genom att implementera SES-modellen som en ARIMA-modell får du viss flexibilitet först Av allt kan den uppskattade MA 1-koefficienten vara negativ, detta motsvarar en utjämningsfaktor som är större än 1 i en SES-modell, vilket vanligtvis inte är tillåtet med SES-modellproceduren. För det andra har du möjlighet att inkludera en konstant term I ARIMA-modellen om du vill, för att uppskatta en genomsnittlig icke-nollutveckling. ARIMA 0,1,1-modellen med konstant har förutsägelsekvationen. Prognoserna för en period framåt från denna modell är kvalitativt lik Ose av SES-modellen, förutom att banan för de långsiktiga prognoserna typiskt är en sluttande linje vars lutning är lika med mu snarare än en horisontell linje. ARIMA 0,2,1 eller 0,2,2 utan konstant linjär exponentiell utjämning Linjära exponentiella utjämningsmodeller är ARIMA-modeller som använder två nonseasonal skillnader i samband med MA-termer. Den andra skillnaden i en serie Y är inte bara skillnaden mellan Y och sig själv fördröjt med två perioder, men snarare är det den första skillnaden i den första skillnaden - - förändringen av Y vid period t Således är den andra skillnaden i Y vid period t lika med Y t-Y t-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t-2Y t -1 Y t-2 En andra skillnad på en diskret funktion är analog med ett andra derivat av en kontinuerlig funktion som mäter accelerationen eller krökningen i funktionen vid en given tidpunkt. ARIMA 0,2,2-modellen utan konstant förutspår Att den andra skillnaden i serien är lika med en linjär funktion av de två sista prognoserna err ors. which kan omordnas som: där 1 och 2 är MA 1 och MA 2-koefficienterna. Detta är en generell linjär exponentiell utjämningsmodell som är väsentligen densamma som Holt s-modellen och Brown s-modellen är ett speciellt fall. Det använder exponentiellt vägda glidmedel Att uppskatta både en lokal nivå och en lokal trend i serien. De långsiktiga prognoserna från denna modell konvergerar till en rak linje vars lutning beror på den genomsnittliga trenden som observerats mot slutet av serien. ARIMA 1,1,2 utan konstant dämpad - trend linjär exponentiell utjämning. Denna modell illustreras i de bifogade bilderna på ARIMA-modellerna. Den extrapolerar den lokala trenden i slutet av serien men plattar ut på längre prognoshorisonter för att presentera en konservatismodell, en övning som har empiriskt stöd. Se Artikeln om Why the Damped Trend fungerar av Gardner och McKenzie och Golden Rule-artikeln av Armstrong et al för detaljer. Det är vanligtvis lämpligt att hålla sig till modeller där minst en av p och q inte är låt Ger än 1, dvs försök inte passa en modell som ARIMA 2,1,2 eftersom det här sannolikt kommer att leda till överfitting och commonfactorproblem som diskuteras närmare i noterna om den matematiska strukturen för ARIMA-modellerna. Spreadsheet implementation ARIMA-modeller som de som beskrivs ovan är enkla att implementera på ett kalkylblad. Förutsägningsekvationen är helt enkelt en linjär ekvation som refererar till tidigare värden av ursprungliga tidsserier och tidigare värden av felen. Således kan du ställa in ett ARIMA prognosräkningsblad Genom att lagra data i kolumn A, prognosformeln i kolumn B och feldata minus prognoser i kolumn C Förutsättningsformeln i en typisk cell i kolumn B skulle helt enkelt vara ett linjärt uttryck som hänvisar till värden i föregående rader av kolumnerna A och C multiplicerad med lämpliga AR - eller MA-koefficienter lagrade i celler på annat håll på kalkylbladet.